Umělá inteligence prolomila složitý Erdősův matematický problém. Vědci kvůli tomu žádají nová pravidla

Interní model OpenAI vyvrátil osmdesát let starou domněnku z diskrétní geometrie. Do dvou týdnů podepsalo přes 2 600 matematiků deklaraci požadující nová pravidla pro AI v jejich oboru.

Foto: Pixabay - licence CC0 1.0

20. května 2026 zveřejnila OpenAI oznámení, které matematický svět rozhodně nečekal. Její dosud nepublikovaný reasoning model sestrojil kontrapříklad, jenž vyvrací takzvanou Erdősovu domněnku o jednotkových vzdálenostech – problém, který maďarský matematik Paul Erdős formuloval v roce 1946 a na který od té doby nikdo nevyzrál. Nejde o vyřešení celého problému, ale o zboření jednoho z jeho pilířů: dlouho přijímaného přesvědčení, že maximální počet dvojic bodů ve vzdálenosti přesně jedna roste s počtem bodů jen „téměř lineárně“. Neroste. A matematici teď řeší nejen to, co z toho plyne pro geometrii, ale i to, co z toho plyne pro jejich obor jako celek.

Co přesně Erdős tvrdil a proč to nikdo nevyvrátil

Problém zní jednoduše: rozmístěte n bodů v rovině tak, aby co nejvíc dvojic mělo mezi sebou vzdálenost přesně jedna. Kolik takových dvojic dokážete vytvořit? Erdős v roce 1946 ukázal dolní konstrukci, která roste mírně rychleji než lineárně, a zároveň se v oboru ustálilo přesvědčení, že horní mez je v zásadě n^1+o(1), tedy že růst je „skoro lineární“ a žádná šikovná konfigurace bodů ho výrazně nepřekoná.

Jenže to nikdo nedokázal. Nejlepší známý horní odhad O(n^4/3) pochází z práce Spencera, Szemerédiho a Trottera z roku 1984 a od té doby se nepohnul. Čtyřicet let stagnace na jedné straně a oborová víra na straně druhé; přesně tento rozestup dělal problém tak tvrdým. Nikdo nehledal kontrapříklad, protože téměř všichni věřili, že domněnka platí.

Jak AI našla to, co lidé nehledali

Podle oznámení OpenAI šlo o interní obecný reasoning model, nikoli o systém cíleně trénovaný na tento problém. Model sestrojil nekonečnou rodinu konfigurací bodů, u nichž počet jednotkových vzdáleností roste jako n^1+δ pro nějaké pevné δ > 0, tedy prokazatelně rychleji, než domněnka připouštěla. Argument stojí na algebraické teorii čísel: číselná tělesa, nekonečné věže třídových těles a Golod-Šafarevičova teorie.

Klíčový krok nebyl výpočetní hrubou silou, ale strategický. Matematik Timothy Gowers, jeden z autorů doprovodného ověřovacího textu, to popisuje jasně: prvním zásadním krokem bylo vůbec se odhodlat hledat kontrapříklad. Lidé to nedělali, protože oborové přesvědčení mířilo opačným směrem. Melanie Matchett Woodová, další z ověřovatelů, dodává střízlivý komentář: kdyby se skupina expertů soustředila na hledání kontrapříkladu už měsíc předtím, pravděpodobně by ho našla také. Rozdíl nebyl v čisté „superinteligenci“, ale v tom, že model neměl oborové předsudky.

Ještě tentýž den zveřejnil matematik Will Sawin na arXivu vlastní navazující práci, která výsledek zpřesňuje na explicitní exponent n^1,014. OpenAI ve svém původním důkazu konkrétní hodnotu δ neuváděla; Sawinovo číslo dává výsledku měřitelný tvar.

Důkaz, který zatím neprošel recenzním řízením

Doprovodný text, na němž se podíleli Alon, Gowers, Woodová a další špičkoví matematici, má 19 stran a autoři ho označují za „human-verified“. To je víc, než co nabízí běžné firemní oznámení o průlomech AI. Sawinovo nezávislé zpřesnění tak přidává další vrstvu důvěryhodnosti.

Přesto jde zatím o preprinty a firemní blog, nikoli o recenzovanou publikaci. OpenAI nezveřejnila úplné počty neúspěšných běhů ani chybných důkazů, které model vyprodukoval cestou k výsledku; na stránce jsou jen zkrácené řetězce úvah. A doprovodný text sám upozorňuje, že v původním výstupu modelu chybí adekvátní odkazy na příbuznou lidskou práci. AI čerpala z myšlenek, které mají konkrétní autory, ale nedokázala je citovat.

Leidenská deklarace: šestnáct autorů, tisíce podpisů

Přesně na tyto problémy reaguje Leidenská deklarace o umělé inteligenci a matematice, publikovaná 2. června 2026. Jejích šestnáct autorů z patnácti univerzit, které svolal matematik Jim Portegies, formulovalo požadavky, jež institucionálně podpořila i Mezinárodní matematická unie. K 22. červnu deklaraci podepsalo 2 671 odborníků.

Co deklarace požaduje:

• Transparentnost – povinné přiznání použitých AI nástrojů a výpočetních zdrojů.
• Lidská odpovědnost – za správnost, citace i interpretaci vždy odpovídá člověk; AI nemá být uváděna jako autor.
• Vyšší standardy ověřování – lidský výklad klíčových argumentů, kde to dává smysl formální verifikace, externí předběžné review.
• Řádná publikace – výsledky patří do recenzovaných časopisů, ne do tiskových zpráv načasovaných marketingovým oddělením.
• Ochrana autorských práv – možnost odmítnout trénink na vlastních textech.
• Veřejná infrastruktura – podpora nezávislých výpočetních zdrojů, aby matematika nezávisela na proprietárních modelech bohatých firem.

Poslední bod míří do živého. Benchmark „First Proof Second Batch“, zveřejněný 16. června 2026, se pokouší testovat veřejně dostupné AI systémy na výzkumných matematických problémech, ale sám přiznává, že „veřejně dostupné“ znamená „za dostatečné financování“. Bez veřejných alternativ budou mít náskok týmy s granty na drahý výpočetní výkon a firmy s vlastními modely.

Co to znamená pro českou akademickou praxi

České univerzity už dnes formulují pravidla, která s duchem leidenské deklarace rezonují. Masarykova univerzita požaduje transparentnost a deklaraci použití AI. Univerzita Palackého trvá na tom, že za výstup vždy odpovídá člověk a že neveřejná výzkumná data nemají končit ve veřejných AI nástrojích. Univerzita Karlova má doporučení pro závěrečné práce. Materiál zveřejněný přes MŠMT mluví o důrazu na průběžné hodnocení a obhajobu procesu tvorby, ne jen finálního výsledku.

Pro matematiku to v praxi znamená víc ústních obhajob mezikroků, víc ověřování postupu a méně slepé důvěry ve „správný výsledek“.

Erdősova domněnka padla po osmdesáti letech. Otázka, kterou za sebou nechala, ale není geometrická, je institucionální: jak obor přijme důkaz, jehož autorem není člověk, jehož nástroj není veřejný a jehož citace neexistují.