Co přesně Erdős tvrdil a proč to nikdo nevyvrátil

Problém zní jednoduše: rozmístěte n bodů v rovině tak, aby co nejvíc dvojic mělo mezi sebou vzdálenost přesně jedna. Kolik takových dvojic dokážete vytvořit? Erdős v roce 1946 ukázal dolní konstrukci, která roste mírně rychleji než lineárně, a zároveň se v oboru ustálilo přesvědčení, že horní mez je v zásadě n^1+o(1), tedy že růst je „skoro lineární“ a žádná šikovná konfigurace bodů ho výrazně nepřekoná.

Jenže to nikdo nedokázal. Nejlepší známý horní odhad O(n^4/3) pochází z práce Spencera, Szemerédiho a Trottera z roku 1984 a od té doby se nepohnul. Čtyřicet let stagnace na jedné straně a oborová víra na straně druhé; přesně tento rozestup dělal problém tak tvrdým. Nikdo nehledal kontrapříklad, protože téměř všichni věřili, že domněnka platí.

Jak AI našla to, co lidé nehledali

Podle oznámení OpenAI šlo o interní obecný reasoning model, nikoli o systém cíleně trénovaný na tento problém. Model sestrojil nekonečnou rodinu konfigurací bodů, u nichž počet jednotkových vzdáleností roste jako n^1+δ pro nějaké pevné δ > 0, tedy prokazatelně rychleji, než domněnka připouštěla. Argument stojí na algebraické teorii čísel: číselná tělesa, nekonečné věže třídových těles a Golod-Šafarevičova teorie.

Klíčový krok nebyl výpočetní hrubou silou, ale strategický. Matematik Timothy Gowers, jeden z autorů doprovodného ověřovacího textu, to popisuje jasně: prvním zásadním krokem bylo vůbec se odhodlat hledat kontrapříklad. Lidé to nedělali, protože oborové přesvědčení mířilo opačným směrem. Melanie Matchett Woodová, další z ověřovatelů, dodává střízlivý komentář: kdyby se skupina expertů soustředila na hledání kontrapříkladu už měsíc předtím, pravděpodobně by ho našla také. Rozdíl nebyl v čisté „superinteligenci“, ale v tom, že model neměl oborové předsudky.

Ještě tentýž den zveřejnil matematik Will Sawin na arXivu vlastní navazující práci, která výsledek zpřesňuje na explicitní exponent n^1,014. OpenAI ve svém původním důkazu konkrétní hodnotu δ neuváděla; Sawinovo číslo dává výsledku měřitelný tvar.

Důkaz, který zatím neprošel recenzním řízením

Doprovodný text, na němž se podíleli Alon, Gowers, Woodová a další špičkoví matematici, má 19 stran a autoři ho označují za „human-verified“. To je víc, než co nabízí běžné firemní oznámení o průlomech AI. Sawinovo nezávislé zpřesnění tak přidává další vrstvu důvěryhodnosti.

Přesto jde zatím o preprinty a firemní blog, nikoli o recenzovanou publikaci. OpenAI nezveřejnila úplné počty neúspěšných běhů ani chybných důkazů, které model vyprodukoval cestou k výsledku; na stránce jsou jen zkrácené řetězce úvah. A doprovodný text sám upozorňuje, že v původním výstupu modelu chybí adekvátní odkazy na příbuznou lidskou práci. AI čerpala z myšlenek, které mají konkrétní autory, ale nedokázala je citovat.

Leidenská deklarace: šestnáct autorů, tisíce podpisů

Přesně na tyto problémy reaguje Leidenská deklarace o umělé inteligenci a matematice, publikovaná 2. června 2026. Jejích šestnáct autorů z patnácti univerzit, které svolal matematik Jim Portegies, formulovalo požadavky, jež institucionálně podpořila i Mezinárodní matematická unie. K 22. červnu deklaraci podepsalo 2 671 odborníků.

Co deklarace požaduje:

• Transparentnost – povinné přiznání použitých AI nástrojů a výpočetních zdrojů.
• Lidská odpovědnost – za správnost, citace i interpretaci vždy odpovídá člověk; AI nemá být uváděna jako autor.
• Vyšší standardy ověřování – lidský výklad klíčových argumentů, kde to dává smysl formální verifikace, externí předběžné review.
• Řádná publikace – výsledky patří do recenzovaných časopisů, ne do tiskových zpráv načasovaných marketingovým oddělením.
• Ochrana autorských práv – možnost odmítnout trénink na vlastních textech.
• Veřejná infrastruktura – podpora nezávislých výpočetních zdrojů, aby matematika nezávisela na proprietárních modelech bohatých firem.

Poslední bod míří do živého. Benchmark „First Proof Second Batch“, zveřejněný 16. června 2026, se pokouší testovat veřejně dostupné AI systémy na výzkumných matematických problémech, ale sám přiznává, že „veřejně dostupné“ znamená „za dostatečné financování“. Bez veřejných alternativ budou mít náskok týmy s granty na drahý výpočetní výkon a firmy s vlastními modely.

Co to znamená pro českou akademickou praxi

České univerzity už dnes formulují pravidla, která s duchem leidenské deklarace rezonují. Masarykova univerzita požaduje transparentnost a deklaraci použití AI. Univerzita Palackého trvá na tom, že za výstup vždy odpovídá člověk a že neveřejná výzkumná data nemají končit ve veřejných AI nástrojích. Univerzita Karlova má doporučení pro závěrečné práce. Materiál zveřejněný přes MŠMT mluví o důrazu na průběžné hodnocení a obhajobu procesu tvorby, ne jen finálního výsledku.

Pro matematiku to v praxi znamená víc ústních obhajob mezikroků, víc ověřování postupu a méně slepé důvěry ve „správný výsledek“.

Erdősova domněnka padla po osmdesáti letech. Otázka, kterou za sebou nechala, ale není geometrická, je institucionální: jak obor přijme důkaz, jehož autorem není člověk, jehož nástroj není veřejný a jehož citace neexistují.

Článek Umělá inteligence prolomila složitý Erdősův matematický problém. Vědci kvůli tomu žádají nová pravidla se nejdříve objevil na VědaŽivě.cz.

Jak z hromádky na chodníku vznikne důkaz

Celý systém stojí na jednoduché logice. Když se nájemník se psem stěhuje do zapojeného domu, musí nechat zvířeti odebrat stěr z vnitřní strany tváře. Laboratoř PooPrints z něj vytvoří genetický profil založený na 16 markerech, podobně jako forenzní databáze u lidí, jen levněji a bez soudního příkazu. Profil se uloží do registru dané nemovitosti.

Jakmile se na trávníku, v garáži nebo u vchodu objeví neuklizený exkrement, správce odebere vzorek velikosti pětikorunové mince do firemního kitu a pošle ho do BioPet Laboratories. Tam izolují DNA ze střevních buněk na povrchu stolice, porovnají ji s registry a shodu uznají jen při úplném souladu všech dostupných alel. Žádný odhad plemene, žádná pravděpodobnost; buď profil sedí, nebo ne. Firma uvádí, že validní DNA získá zhruba z 90 % zaslaných vzorků.

Pokuta za hromádku, vystěhování za recidivu

Samotná DNA nikoho z bytu nevyhodí. Rozhodující je, že pozitivní shoda mění anonymní nepořádek na konkrétní, prokazatelné porušení nájemních pravidel. A sankce se liší dům od domu.

• Campbell Properties (USA): 200 dolarů paušálně, nebo 10 dolarů za každý kus exkrementu; účtuje se vyšší částka. Při opakovaném porušení hrozí odebrání povolení chovat zvíře i vystěhování.
• Hudson Harbour, Edgewater (USA): 250 dolarů za incident, tedy asi 5 800 korun.
• Quintain Living (Velká Británie): až 200 liber za incident, v přepočtu kolem 6 300 korun. Eskalace jde od ústního varování přes písemné napomenutí k odebrání licence pro zvíře a případně soudnímu příkazu k jeho odstranění z bytu.

Klíčové je slovo „eskalace“. Nikdo vás nevystěhuje za jednu zapomenutou hromádku. Ale pokud správce má v ruce opakované laboratorní shody a nájemník nereaguje na výzvy, stává se DNA report důkazem pro právní kroky podle smlouvy.

Devět tisíc komunit, milion psů

PooPrints dávno není experiment jednoho domu. Firma uvádí přes 9 000 zapojených komunit, více než milion registrovaných psů a pokrytí všech 50 amerických států. Jen mezi státem New York a New Jersey obsluhuje téměř 300 komunit, z toho 40 v Jersey City. Program běží i v Kanadě, Mexiku a Británii, celkem v sedmi zemích.

Podle firmy klesá po zavedení systému množství neuklizeného odpadu až o 96 %. Nezávislou studii, která by toto číslo potvrdila srovnáním s klasickými pokutami nebo vývěskami, se nám v otevřených zdrojích najít nepodařilo. Přesto je logika jasná: samotné vědomí, že hromádka může skončit v laboratoři, funguje jako prevence účinněji než cedule „Ukliďte po svém psovi“.

Co by to znamenalo pro Česko

Český nájemník má silnější pozici než americký. Podle § 2258 občanského zákoníku má právo chovat v bytě zvíře, pokud tím nezpůsobuje nepřiměřené obtíže ostatním obyvatelům domu. Pronajímatel nemůže psa plošně zakázat, může jen požadovat náhradu zvýšených nákladů na údržbu společných částí.

Praha navíc povinnost úklidu exkrementů už řeší vyhláškou č. 8/2008 o udržování čistoty, která ukládá původci znečištění neprodleně ho odstranit. Problém tedy není v chybějícím pravidle, ale v identifikaci viníka, přesně to, co DNA systém řeší. Na pražském magistrátu se myšlenka DNA registru psů skutečně objevila: v březnu 2019 ji projednával výbor zastupitelstva pro infrastrukturu a životní prostředí. Do realizace ji ale město nedotáhlo.

Čistě smluvně by si český developer nebo SVJ mohli zpřísnit pravidla pro společné prostory a zavést sankce za nepořádek. Povinný stěr z tlamy každého psa by ale v tuzemském právním prostředí narážel na silnou ochranu nájemcova práva chovat zvíře i na to, že veřejný prostor už regulují obecní vyhlášky. Spíš než krok „na spadnutí“ je to zatím hypotetická možnost pro prémiové rezidenční projekty, kde by s tím souhlasili sami vlastníci.

Američtí pejskaři v Edgewater to přijímají pragmaticky. „Nemám s tím problém, pravidla jsou pro všechny stejná,“ řekl jeden z rezidentů Hudson Harbour pro NBC New York. Jiný dodal, že by pokutu ještě zpřísnil. Přenesení důkazního břemene do laboratoře zjevně funguje tam, kde domluva selhává, a kde je někdo ochotný za identifikaci viníka zaplatit.

Článek Neseberete po psovi a vyhodí vás z bytu. V USA odhalují hříšné pejskaře pomocí testů DNA exkrementů se nejdříve objevil na VědaŽivě.cz.