Proč má každá mapa chybu a jak ji měřit

Převést povrch koule na plochu bez jakéhokoli zkreslení je matematicky nemožné, to dokázal už Carl Friedrich Gauss v 19. století. Každá mapová projekce proto volí, co obětuje: tvary, plochy, vzdálenosti nebo kontinuitu. Goldberg a Gott už v letech 2006–2007 navrhli systém šesti měřitelných chyb, které pokrývají celé spektrum zkreslení:

• Izotropie – jak moc se lokálně deformují tvary
• Plocha – jak moc se mění poměr velikostí oblastí
• Flexe – jak moc se ohýbají přímky
• Šikmost – jak moc se stáčejí loxodromy
• Vzdálenosti – jak moc se liší vzdálenosti na mapě od skutečných
• Řez na hranici – jak velká nespojitost vzniká na okraji mapy

Každou chybu normalizovali vůči jednoduché ekvidistantní válcové projekci (ta má skóre 6, zatímco glóbus má 0), umocnili a sečetli. Čím nižší číslo, tím věrnější obraz Země. Mercatorova projekce, kterou dodnes používá Google Maps, dosahuje 8,308. Winkel tripel, od roku 1995 charakteristická projekce National Geographic, drží 4,563. Nová oboustranná mapa: 0,881.

Šest nul a jedna změna pravidel

Nejpůsobivější není samotný součet, ale fakt, že disk poráží Winkel tripel v každé jednotlivé složce:

Řádek „řez na hranici“ je klíčový. U klasických jednostranných map vždy existuje místo, kde se povrch Země rozstřihne, typicky v Tichém oceánu. V okolí tohoto řezu se vzdálenosti výrazně zkreslují: Nový Zéland a Chile, ve skutečnosti relativně blízko, se ocitnou na opačných koncích mapy. Winkel tripel má tento řez normalizovaný na 0,25. Disk má nulu. Rovník po obvodu kruhu zajišťuje, že body blízké na glóbu zůstávají blízké i na mapě; stačí přejet prstem nebo provázkem přes hranu na druhou stranu.

Maximální vzdálenostní chyba celé mapy činí ±22,2 %. To znamená, že žádná dvojice bodů na Zemi nemá na mapě vzdálenost zkreslenou o víc než pětinu. U běžných jednostranných projekcí takový horní limit neexistuje.

Proč to nikdo nevymyslel za dva tisíce let

Snyder ve svém klasickém přehledu popsal téměř 200 projekcí napříč zhruba dvěma tisíciletími kartografie. Žádná z nich nepoužila obě strany. Důvod nebyl technický, ale zvykový: „plochá mapa“ znamenala jednostranný obdélník, který pověsíte na zeď a vidíte celý svět naráz.

Gott inspiraci našel jinde, v matematice pravidelných mnohostěnů. V roce 2019 popsal takzvané „obálkové mnohostěny“, tedy tělesa, kde mohou být některé stěny slepené zády k sobě a po celém povrchu může souvisle přecházet pomyslný mravenec. Právě tahle představa souvislé, ale oboustranné plochy vedla k nápadu: i plochá mapa může mít správnou topologii koule, pokud využije obě strany disku. Stačilo opustit předpoklad, o kterém nikdo nepochyboval.

Co mapa neumí a co umí v praxi

Hlavní nevýhoda je zřejmá: na první pohled vidíte jen polovinu světa. Autoři to hájí analogií s glóbem, který také musíte otočit. U nástěnné mapy ve třídě je to problém. U kartonové mapy na lavici, plastového disku v učebnici nebo interaktivní verze na obrazovce je tento problém už mnohem menší.

Autoři počítají s praktickým využitím především ve školách. Disk lze vytisknout oboustranně na jeden list papíru, zarovnat přední a zadní stranu a vystřihnout kruh. Vznikne tak hotová učební pomůcka za cenu jedné stránky. Vzdálenost mezi dvěma městy na různých polokoulích změříte provázkem vedeným přes hranu. Komerční prodej hotových posterů nebo pomůcek jsme nedohledali, ale tiskové podklady i interaktivní prohlížeč jsou volně dostupné na stránkách Princetonu.

A co Česko? Autoři konkrétní čísla pro jednotlivé státy neuvádějí, ale z vlastností polární azimutální ekvidistantní projekce, na níž je disk založen, lze odvodit, že pro 50. stupeň severní šířky vychází příčné zkreslení kolem devíti procent. To je řádově méně než zkreslení, které Mercatorova projekce způsobuje v zeměpisných šířkách střední Evropy.

Vývoj navíc neskončil v roce 2021. V dubnu 2022 Vanderbei publikoval navazující návrh využívající minimalizaci napětí, který sám označil za „relativně malé zlepšení“ původního disku. Princip oboustranné mapy autoři mezitím aplikovali i na Mars, Měsíc a hvězdnou oblohu; nejde tedy o jednorázový trik, ale o obecnější kartografický formát.

Někdy největší průlom nevznikne lepším počítáním, ale otázkou, kterou si předtím nikdo nepoložil. V tomhle případě zněla: a co kdybychom ten papír prostě otočili?

Článek Nová oboustranná mapa Země omezuje zkreslení, kterému se běžné ploché mapy nevyhnou se nejdříve objevil na VědaŽivě.cz.

Badatelé nad letitým problémem

Spolu se svými kolegy Davem Goldbergem a Bobem Vanderbeiem – vynálezcem „Purpurové Ameriky“, mapy pro ukázku volebních výsledků – vytvořili to, co je nejspíš nejpřesnější plochá mapa Země, jaká kdy byla vytvořena. Zobrazení zakřiveného povrchu Země bylo pro klasické kartografy po staletí problémem. Pro upřesnění – žádná plochá mapa Země nemůže být naprosto dokonalá.

Jenže ploché mapy se snadno skladují, pro jejich výrobce i uživatele je to tedy vytoužený formát. Badatelé nejdříve společně určili šest kritických problémů, které u ploché mapy mohou nastat: místní tvary, vzdálenosti, zakřivení, šikmost a oříznutí hranic. Tyhle problémy dobře ilustruje slavná Mercatorova projekce, základní šablona pro Google Mapy. Má perfektní místní tvary, ale je mizerná v zobrazení velkých oblastí, např. Jižní Ameriky.

Nikdo a nic není dokonalé

Člověk nemůže udělat všechno dokonalé. Úkolem je proto vytvořit mapu s minimem chybné konverze. Badatelé se snažili využít techniku používanou matematikem Carlem Gaussem. Merkatorova projekce má na jejich škále skóre 8,296. Čím míň, tím lepší mapa je. Glóbus má 0. Nejlepší předchozí mapa byla z produkce National Geographic Society s polovičním skóre. Cíl vylepšit jejich model „Winkel tripel“ vyžadoval průlom v metodice vytváření map.

Klíčem se ukázala technika podobná starému fonografickému zápisu. Jedna strana mapy tak ukazuje severní polokouli, druhá jižní polokouli, zatímco rovník běží podél okraje. Nemá tak žádné hraniční problémy a zároveň ukazuje správnou topologii koule. Jde zkrátka o přenesení koule do ploché podoby. Celkem jasnou nevýhodou této mapy je nemožnost vidět celou Zemi najednou, ovšem stejný problém existuje i u glóbusu. Chybové skóre této mapy je nižší než jedna.

Zdroj: Scientific American

Článek Kosmolog se svými kolegy konečně vyřešil staletí starou hádanku aneb Jak vznikla nejpřesnější plochá mapa světa se nejdříve objevil na VědaŽivě.cz.

Chcete dodržet tvar, nebo velikost?

„Základní otázkou je, co chcete? Chcete konkrétní region v odpovídající velikosti, nebo ve tvaru, jaký má na globusu?“ Pro většinu účelů je mnohem vhodnější to druhé, ale estetika prvního způsobu je stále kulturně převládající. Navzdory protestům zastánců ploché Země není naše planeta placatá. Technicky jde o zploštělý sféroid. Tedy kouli, která je zploštělá v oblasti pólů a vyboulená podél rovníku. Právě to je od úsvitu mapování zásadní problém.

Tedy jak se dá trojrozměrný objekt bezchybně přenést do dvou dimenzí? Pokud máte globus navíc nebo starý tenisový míček, zkuste ho rozřezat a upravit ho do perfektního obdélníku. Tato nepraktická výzva vám dá dobrou ukázku toho, jak nekompatibilní oba tvary jsou. Mercatorovo zobrazení, vytvořené vlámským kartografem Gerhardem Mercatorem v roce 1569, bylo před 500 lety doslova zjevením. Zůstává také nejpoužívanějším.

Nejpopulárnější model světa

Tuto mapu si oblíbili navigátoři po celá staletí, protože jim dovolila plánovat cesty v přímé linii. V otázce přesnosti ovšem zbývá hodně mezer. „Některé projekce zkreslují více než jiné a Mercatorova je klasickým příkladem. Je konformní a má také tu zvláštnost, že velké kruhy jsou zde přímky.“ Velký kruh je každý, který je nakreslen na globus a má střed v jeho centru. Kombinace těchto vlastností ovšem vytváří znatelnou nereálnou disproporci.

Na globu se poledníky směrem k pólům spojují a zeměpisné šířky se zkracují. Při přenesení Země na obdélník jsou ale póly roztaženy z bodů na linie o délce rovníku. Důsledkem těchto i dalších změn je, že některé oblasti vypadají větší než ve skutečnosti, zatímco jiné jsou zakresleny jako mnohem menší. Zkreslení je obvykle popsáno jako relativní velikost Grónska, Evropy, Afriky a Indie. První dvě jsou zobrazeny jako mnohem větší, druhé dvě zase o dost menší.

Zasazení do kontextu

Grónsko a Afrika tak na těchto mapách vypadají stejně velké, zatímco ve skutečnosti je Afrika 14krát větší. Podobně Aljaška působí, že je 3krát větší než Mexiko, zatímco Mexiko je ve skutečnosti 1,3krát větší. Vezmeme-li tedy v úvahu tyto chyby Mercatorova zobrazení, existují jiné mapy, které by bylo možné použít? „Jednou z alternativ ze 70. let je Gall-Petersovo zobrazení, které má plochy rovnocenné, ale vypadá hrozně.“

„Můj dědeček akademik prohlásil, že na něm kontinenty vypadají jako dlouhé spodní prádlo visící na šňůře.“ I toto zobrazení má svoje problémy. Ačkoli jsou oblasti v relativně správné velikosti jedna ke druhé, většina pevniny je zkreslená, aby se toho dalo docílit. Pevnina je totiž natažená – horizontálně na pólech a vertikálně na rovníku. To znamená, že přestože mají země správnou velikost, rozhodně nemají správný tvar.

Některé další modely

Během staletí bylo nakresleno několik dalších plochých map, všechny ale provází stejné problémy. Je zkrátka nemožné zakreslit obraz Země do mapy a nedělat při tom kompromisy. Například National Geographic Society preferuje projekci Winkel Tripel vytvořenou v roce 1921. Jenže i ta má problém se zkreslením, hlavně u Tichého oceánu, který vypadá mnohem rozsáhlejší, než je ve skutečnosti. Instituce ji ale preferuje, protože zkreslení je menší.

V roce 2021 vytvořili astrofyzici zřejmě nejpřesnější mapu Země, která sestává ze dvou „palačinek“. Mohou být promítnuty vedle sebe, nebo jako dvě strany mince. Tento způsob pohledu na Zemi je zcela odlišný od každé jiné ploché mapy. Teprve se tedy ukáže, jestli se tento model ujme u široké veřejnosti a bude použit i v učebnicích a jako větší učební pomůcka. „Nakonec je to otázka toho, co se bude prodávat,“ podotýká Edney.

Jaký byl na škole váš vztah k zeměpisu? Užívali jste si slepé mapy?

Zdroj: LiveScience

Článek Proč jsou všechny mapy světa chybné a zkreslené? Nikdy nebudou odpovídat realitě, tvrdí profesor geografie se nejdříve objevil na VědaŽivě.cz.