Nová oboustranná mapa Země omezuje zkreslení, kterému se běžné ploché mapy nevyhnou

Trojice amerických vědců v roce 2021 představila mapu, která poráží dosavadního šampiona, projekci Winkel tripel, ve všech šesti měřených typech zkreslení najednou.

Foto: PxHere

Klíč k průlomu nebyl lepší algoritmus ani nový tvar kontinentů. Byl to nápad, který zpětně vypadá až absurdně prostě: přestat trvat na tom, že plochá mapa světa musí mít jen jednu stranu. Astrofyzik J. Richard Gott III a jeho kolegové David Goldberg a Robert Vanderbei z Princetonu a Drexelovy univerzity vzali kruhový disk, představte si vinylovou LP desku, a na každou stranu promítli jednu polokouli. Rovník běží po obvodu. Žádný řez Pacifikem, žádné rozříznuté Rusko, žádná Antarktida natažená přes celou šířku mapy. Výsledek zveřejnili jako preprint na arXivu 15. února 2021 a souhrnné skóre zkreslení spadlo z 4,563 u Winkel tripel na 0,881.

Proč má každá mapa chybu a jak ji měřit

Převést povrch koule na plochu bez jakéhokoli zkreslení je matematicky nemožné, to dokázal už Carl Friedrich Gauss v 19. století. Každá mapová projekce proto volí, co obětuje: tvary, plochy, vzdálenosti nebo kontinuitu. Goldberg a Gott už v letech 2006–2007 navrhli systém šesti měřitelných chyb, které pokrývají celé spektrum zkreslení:

• Izotropie – jak moc se lokálně deformují tvary
• Plocha – jak moc se mění poměr velikostí oblastí
• Flexe – jak moc se ohýbají přímky
• Šikmost – jak moc se stáčejí loxodromy
• Vzdálenosti – jak moc se liší vzdálenosti na mapě od skutečných
• Řez na hranici – jak velká nespojitost vzniká na okraji mapy

Každou chybu normalizovali vůči jednoduché ekvidistantní válcové projekci (ta má skóre 6, zatímco glóbus má 0), umocnili a sečetli. Čím nižší číslo, tím věrnější obraz Země. Mercatorova projekce, kterou dodnes používá Google Maps, dosahuje 8,308. Winkel tripel, od roku 1995 charakteristická projekce National Geographic, drží 4,563. Nová oboustranná mapa: 0,881.

Šest nul a jedna změna pravidel

Nejpůsobivější není samotný součet, ale fakt, že disk poráží Winkel tripel v každé jednotlivé složce:

Chyba	Winkel tripel	GGV disk	Mercator
Izotropie	0,490	0,239	0
Plocha	0,220	0,129	4,203
Flexe	0,740	0,462	1,000
Šikmost	0,340	0,062	1,145
Vzdálenosti	0,374	0,086	0,960
Řez na hranici	0,250	0	1,000

Řádek „řez na hranici“ je klíčový. U klasických jednostranných map vždy existuje místo, kde se povrch Země rozstřihne, typicky v Tichém oceánu. V okolí tohoto řezu se vzdálenosti výrazně zkreslují: Nový Zéland a Chile, ve skutečnosti relativně blízko, se ocitnou na opačných koncích mapy. Winkel tripel má tento řez normalizovaný na 0,25. Disk má nulu. Rovník po obvodu kruhu zajišťuje, že body blízké na glóbu zůstávají blízké i na mapě; stačí přejet prstem nebo provázkem přes hranu na druhou stranu.

Maximální vzdálenostní chyba celé mapy činí ±22,2 %. To znamená, že žádná dvojice bodů na Zemi nemá na mapě vzdálenost zkreslenou o víc než pětinu. U běžných jednostranných projekcí takový horní limit neexistuje.

Proč to nikdo nevymyslel za dva tisíce let

Snyder ve svém klasickém přehledu popsal téměř 200 projekcí napříč zhruba dvěma tisíciletími kartografie. Žádná z nich nepoužila obě strany. Důvod nebyl technický, ale zvykový: „plochá mapa“ znamenala jednostranný obdélník, který pověsíte na zeď a vidíte celý svět naráz.

Gott inspiraci našel jinde, v matematice pravidelných mnohostěnů. V roce 2019 popsal takzvané „obálkové mnohostěny“, tedy tělesa, kde mohou být některé stěny slepené zády k sobě a po celém povrchu může souvisle přecházet pomyslný mravenec. Právě tahle představa souvislé, ale oboustranné plochy vedla k nápadu: i plochá mapa může mít správnou topologii koule, pokud využije obě strany disku. Stačilo opustit předpoklad, o kterém nikdo nepochyboval.

Co mapa neumí a co umí v praxi

Hlavní nevýhoda je zřejmá: na první pohled vidíte jen polovinu světa. Autoři to hájí analogií s glóbem, který také musíte otočit. U nástěnné mapy ve třídě je to problém. U kartonové mapy na lavici, plastového disku v učebnici nebo interaktivní verze na obrazovce je tento problém už mnohem menší.

Autoři počítají s praktickým využitím především ve školách. Disk lze vytisknout oboustranně na jeden list papíru, zarovnat přední a zadní stranu a vystřihnout kruh. Vznikne tak hotová učební pomůcka za cenu jedné stránky. Vzdálenost mezi dvěma městy na různých polokoulích změříte provázkem vedeným přes hranu. Komerční prodej hotových posterů nebo pomůcek jsme nedohledali, ale tiskové podklady i interaktivní prohlížeč jsou volně dostupné na stránkách Princetonu.

A co Česko? Autoři konkrétní čísla pro jednotlivé státy neuvádějí, ale z vlastností polární azimutální ekvidistantní projekce, na níž je disk založen, lze odvodit, že pro 50. stupeň severní šířky vychází příčné zkreslení kolem devíti procent. To je řádově méně než zkreslení, které Mercatorova projekce způsobuje v zeměpisných šířkách střední Evropy.

Vývoj navíc neskončil v roce 2021. V dubnu 2022 Vanderbei publikoval navazující návrh využívající minimalizaci napětí, který sám označil za „relativně malé zlepšení“ původního disku. Princip oboustranné mapy autoři mezitím aplikovali i na Mars, Měsíc a hvězdnou oblohu; nejde tedy o jednorázový trik, ale o obecnější kartografický formát.

Někdy největší průlom nevznikne lepším počítáním, ale otázkou, kterou si předtím nikdo nepoložil. V tomhle případě zněla: a co kdybychom ten papír prostě otočili?